Категория: Математика

ТГЭУ Филиал Дальневосточного федерального университета (ДФУ)

Математические методы и модели, 2 курс

II-й этап Проверка знаний методов решения задач

2 Вариант

II-й этап предполагает проверку знаний методов решения задач. Студенту предлагается решить 7 задач на следующие темы:

1. Составление экономико-математической модели задачи (3 модели).
2. Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.
3. Решение задачи линейного программирования графическим методом.
4. Решение задачи линейного программирования симплекс методом.
5. Нахождение оптимального плана перевозок.

Задание 3

Предприятие может работать по пяти технологическим процессам (Т₁, Т₂, Т₃, Т₄, Т₅), выпуская количество продукции за единицу времени соответственно 10*(N + 1), 20*(N + 1), 20 + N, 30 + N, 5*(N + 1). Составить программу максимального выпуска продукции при условии, что известны количество сырья, расход электроэнергии, заработная плата и накладные расходы при изготовлении продукции в единицу времени по заданным технологиям.

Предприятие может работать по пяти технологическим процессам (Т₁, Т₂, Т₃, Т₄, Т₅), выпуская количество продукции за единицу времени соответственно 40, 80, 23, 33, 20. Составить программу максимального выпуска продукции при условии, что известны количество сырья, расход электроэнергии, заработная плата и накладные расходы при изготовлении продукции в единицу времени по заданным технологиям (табл. 1)

Задание 13

Нужно распилить большое число бревен длиной 8 м на бруски размерами 2; 3; 4 м, количество которых, в зависимости от размеров, должны быть в отношении 5:4:3. Найти план распила с минимальным числом отходов.

Задание 23

Фирма имеет 3 шахты. Пусть а_i – суточная добыча угля в i-ой шахте; t_i – затраты на добычу 1 тонны в i-ой шахте в сутки. По контракту фирма должна поставлять b_i тонн угля в сутки j-му потребителю, j = 1; 3; штраф за недопоставку составляет k_i за тонну. Доставка угля производится в вагонах. Вместимость вагона 30 тонн, затраты на аренду вагона – 10 руб. на 1 км и не зависят от степени загруженности вагона. Расстояния между шахтами и потребителями c_ij даны в таблице. Составить план добычи и доставки угля, чтобы общие затраты были минимальными.

a₁ = 180; a₂ = 120; a₃ = 210 – суточная добыча угля;
t₁ = 400; t₂ = 500; t₃ = 450 – затраты на добычу;
b₁ = 150; b₂ = 210; b₃ = 180 – поставки угля потребителю;;
k₁ = 200; k₂  = 100; k₃ = 150 – штраф за непоставку.

 Минимизировать общие затраты на добычу угля.

Задание 33

Пользуясь методом Жордана-Гаусса решить систему линейных уравнений; провести проверку полученного решения.

x₁+2x₃+5x₄=-16
3x₁+x₂+9x₃+20x₄=-62
2x₁+2x₂+11x₃+22x₄=-67
x₁-4x₂-8x₃-10x₄=22

Задание 53

Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств и геометрически найти наименьшее и наибольшее значения линейных функций.

Задание 73

Для приготовления различных изделий А и В используется три вида сырья. На производство единицы изделия А требуется сырья первого вида 2 кг, сырья второго вида 1 кг, сырья третьего вида 3 кг. На производство единицы изделия В требуется затратить сырья первого вида 3 кг, сырья второго вида 1 кг, сырья третьего вида 1 кг.

Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 18 кг, сырьем второго вида 7 кг, сырьем третьего вида 15 кг.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 2руб., а изделия В - 1 руб.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу симплексным методом путем преобразования симплекс-таблиц.

Задание 93

На три базы А₁, А₂, А₃ поступил однородный груз в количестве а₁ тонн на базу А₁; а₂ тонн на базу А₂; а₃ тонн на базу А_3ю. Полученный груз требуется привезти в пять пунктов: b₁ тонн в пункт В₁, b₂ тонн в пункт В₂, b₃ тонн в пункт В₃, b₄ тонн в пункт В₄, b₅ тонн в пункт В₅.

Расстояние между пунктами отправления (базами) и пунктами назначения (потребителями) указаны в таблице (матрица расстояний D).

Стоимость перевозки пропорциональна количеству груза и расстоянию, на которое этот груз перевозится. Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была наименьшей.
Ввиду пропорциональности затрат количеству груза и расстоянию для решения задачи достаточно минимизировать общий объем плана, выраженный в тонно-километрах.

93.

a1 = 220 a2 = 180 a3 = 200

b1 = 60 b2 = 180 b3 = 160 b4 = 50 b5 = 150