Категория: Математика
Условие задачи (тема реферата, контрольной, курсовой работы или диплома):1. Выяснить, можно ли в линейном пространстве R2 определить скалярное произведение формулой:
(x1,x2)(y1,y2)=x1y1-2x2y2
2. Для векторов х=(1, i, 2, i), y=(1 – i, 1 + i, 2i, 3) унитарного пространства N4 найти скалярное произведение (х,у) и длины векторов х, у.
3. Найти угол между векторами (2, -1, 3, -2) и (3, 1, 5, 1) евклидова пространства R4.
4. Найти матрицу Грама системы векторов (1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 4), вычислить ее определитель Грама и определить, будет ли эта система векторов линейно независима.
5. Убедиться, что векторы (1, -2, 2, -3) и (2, -3, 2, 4) ортогональны, дополнить их до ортогонального базиса евклидова пространства R4 и нормировать векторы полученного базиса.
6. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, порожденного векторами (1, 2, 2, -1), (1, 1, -5, 3), (3, 2, 8,-7).
7. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожденному векторами (1, 0, 2, 1), (2, 1, 2, 3) и (0, 1, -2, 1).
8. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора (4, -1, -3, 4) относительно подпространства, порожденного векторами (1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, -1), (1, 0, 0, 3).
9. Пусть А – линейное отображение пространства R3 в R2 , заданное в базисах (1, 1, 1), (1, 0, 1), и (1, 2), (0, 1) матрицей . Найти матрицу сопряженного отображения в базисах (1, 2), (0, 1) и (1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1).
10. Пусть линейный оператор А пространства имеет в базисе (1, 2, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 0) матрицу . Найти матрицу сопряженного оператора в том же базисе.
11. Пусть линейный оператор А унитарного пространства задан матрицей в стандартном базисе. Убедиться, что А является нормальным оператором, найти его собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов.
12. Найти собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов для самосопряженного оператора пространства , заданного в стандартном базисе матрицей . Найти спектральное разложение этой матрицы.
Комментарии к решению: Решение выполнено четко и ясно в Microsoft Word, все формулы набраны во встроенном редакторе формул, даны подробные комментарии для студента.